পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

 Q1. $A$ ও $B$  দুটি পরস্পর পূরক কোণ। দেখাও যে,   $\sin{A}+\sin{B}=1+2\sin{A}\cos{B}$

 সমাধান :
    যেহেতু  $A$ ও $B$  দুটি পরস্পর পূরক কোণ 
 $A+B=90^{\circ}$
  $\Rightarrow \sin{B} =\sin{(90^{\circ)}-A}=\cos{A}$

 সুতরাং,
    $(\sin{A}+\sin{B})^2=(\sin{A}+\cos{A})^2$

                              $=\sin^2{A}+\cos^2{A} +2\sin{A} \cos{A}$

                               $=1+2\sin{A} \cos{A}$.

   Q2.  দেখাও যে, $\sin^2{21^{\circ}}+\sin^2{69^{\circ}}=1$

    সমাধানঃ

    $\sin^2{69^{\circ}} + \sin{(90^{\circ}}-21^{\circ})=\cos{21^{\circ}}$

    সুতরাং, $\sin^2{21^{\circ}} + \sin^2{69^{\circ}}=\sin^2{21^{\circ}}+\cos^2{21^{\circ}}=1$

    Q3.  দেখাও যে, $\tan{15^{\circ}} + \tan{75^{\circ}}=\frac{\sec^2{15^{\circ}}}{\sqrt{\sec^2{15^{\circ}-1}}$

    সমাধান :

       $\tan 15^{\circ}+\tan 75^{\circ}= \tan 15^{\circ} + \tan(90^{\circ}- 15^{\circ}$

                                          $=\tan 15^{\circ} + \cot 15^{\circ}$

                                          $=\tan 15^{\circ}+1/(\tan 15^{\circ})$

                                         $=(\tan^2 15^{\circ} +1)/(\tan 15^{\circ})$

                                        $=(\sec^2 15^{\circ})/(\sqrt(\sec^2 15^{\circ}-1))$

   Q4.  যদি $\sec \theta=\cosec{ \varphi}$ হয় এবং $0<(\theta, varphi)<90^{\circ}$, তাহলে $\sin(\theta+\varphi)$ এর মান বার করো।

   সমাধানঃ 

         $\sec{\theta}=\cosec{\varphi}$ বা $\cos{\theta}=\sin{\varphi}$

 বা, $\cos{\theta=\cos(90^{\circ}-\varphi)$ 
  বা $\theta=90^{\circ}-\varphi$

 বা, $\theta+\varphi=90^{\circ}$

  So,   $ \sin(\theta+\varphi)=sin 90^{\circ}=1$

  Q4.   $\cos 43^{\circ}=x/(\sqrt{x^2+y^2})$  হলে, $\tan 47^{\circ}$-এর মান কত?‍‍‍

 সমাধান-

দেওয়া অাছে  

$\cos 43^{\circ}=x/(\sqrt{x^2+y^2})$

                $\Rightarrow \cos^2 43^{\circ}=(x^2)/(x^2+y^2)$

               $\Rightarrow 1-\sin^2 43^{\circ}=(x^2)/(x^2+y^2)$

               $\Rightarrow \sin^2 43^{\circ}=1-(x^2)/(x^2+y^2)$

              $\Rightarrow \sin^2 43^{\circ}=(y^2)/(x^2+y^2)$ (এখানে ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়)

এখন

$\tan 43^{\circ}=\tan(90^{\circ}-43^{\circ})$

                 $=cot 43^{\circ}$

                 $=(cos 43^{\circ})/(sin 43^{\circ})$

                 $=(y^2)/(x^2+y^2)-: (x^2)/(x^2+y^2)$

                  $=x/y$