শতকরা [Percentage]

প্রশ্ন:- চালের দাম  $r%$  বাড়লে এক পরিবার চালের ব্যবহারের পরিমান কত কমালে মোট খরচ অপরিবর্তিত থাকবে ?

সমাধান :
মনেকরি অাগে $100$  টাকায়  $100$  একক চাল পাওয়া যেত।
এখন চালের দাম ‍  $r%$  বৃদ্ধি পয়েছে অর্থাৎ এখন  $100+r$  টাকায় $100$  একক চাল পাওয়া যায়।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি,

                               
                             চালের খরচ(টাকা)                     চালের পরিমান(একক)
                                  $100+r$                                   $100$
                                   
                                    $100$                                           ?

ঐকিক নিয়মে করলে হয়,

              বর্তমানে     $100+r$   টাকায় পাওয়া যায়       $100$              একক চাল

                   ,,         $1$            ,,     ,,    ,,     $\frac{100}{100+r}$           ,,    ,,

                   ,,          $100$       ,,     ,,    ,,     $\frac{(100\times 100}{100+r}$   ,,  ,,



 

চালের ব্যবহার কমাতে হবে $=  100- \frac{100\times 100}{100+r}$ একক

                                $=\frac{100r}{100+r}$  একক
চালের ব্যবহার কমাতে হবে $\frac{r}{100+r)}%$


বিকল্প সমাধান :
মনেকরি অাগে $p$ টাকায়  $q$ একক চাল পাওয়া যেত।

এখন চালের দাম  ‍$r%$  বৃদ্ধি পয়েছে অর্থাৎ এখন $p+\frac{pr}{100}=\frac{p(100+r)}{100}$  টাকায়  $q$  একক চাল পাওয়া যায়।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি,


                             

                             চালের খরচ(টাকা)                            চালের পরিমান(একক)

                                  $\frac{x(100+r)}{100}$                       $y$
                                 

                                   $x$                                              ?


ঐকিক নিয়মে করলে হয়,


              বর্তমানে  $\frac{x(100+r)}{100}$  টাকায় পাওয়া যায়       $y$                একক চাল


                   ,,         $1$                  ,,     ,,    ,,      $\frac{100y}{x(100+r)}$   ,,   ,,


                   ,,        $x$                    ,,     ,,    ,,          $\frac{100xy}{x(100+r)}$  ,, ,,




চালের ব্যবহার কমাতে হবে $=  y-\frac{100y}{100+r}$একক


                                $=\frac{ry}{100+r}$ একক

চালের ব্যবহার কমাতে হবে $\frac{ry}{y(100+r)} =\frac{r}{100+r}%$

প্রশ্ন:- কোন দ্রব্যের মূল্য  $r%$  হ্রাস পেলে এবং খরচ অপরিবর্তিত রাখতে গেলে ঐ দ্রব্যের পরিমাণ শতকরা কত বৃদ্ধি করতে হবে?

সমাধান :
মনেকরি অাগে $100$  টাকায় $100$ একক দ্রব্য পাওয়া যেত।
এখন দ্রব্যের দাম ‍$r%$ হ্রাস পয়েছে অর্থাৎ এখন $100-r$  টাকায় $100$ একক দ্রব্য পাওয়া যায়।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি,

                               
                             দ্রব্যের খরচ(টাকা)                      দ্রব্যের পরিমান(একক)
                                  $100-r $                                    $100$
                                   
                                    $100$                                            ?

ঐকিক নিয়মে করলে হয়,

              বর্তমানে     $100-r$  টাকায় পাওয়া যায়       $100$             একক  দ্রব্য

                   ,,         $1$           ,,     ,,    ,,     $\frac{100}{100-r}$           ,,    ,,

                   ,,          $100$      ,,     ,,    ,,    $\frac{100\times 100}{100-r}$  ,,  ,,



 

দ্রব্যের ব্যবহার বৃদ্ধি করতে  হবে  $=\frac{100\times 100}{100-r}-100$ একক

                                     $=\frac{100r}{100-r}$  একক
দ্রব্যের ব্যবহার বৃদ্ধি করতে হবে  $\frac{r}{100-r} %$


বিকল্প সমাধান :
মনেকরি অাগে  $x$  টাকায়  $y$  একক দ্রব্য পাওয়া যেত।

এখন দ্রব্যের দাম ‍ $r%$  হ্রাস পয়েছে অর্থাৎ এখন  $x-\frac{xr}{100}=\frac{x(100-r)}{100}$   টাকায়  $ y$  একক দ্রব্য পাওয়া যায়।

গণিতের ভাষায় সমস্যাটি,


                             

                             দ্রব্যের খরচ(টাকা)                            দ্রব্যের পরিমান(একক)

                                  $\frac{x(100-r)}{100}$                       $x
$
                                 

                                    $x$                                              ?


ঐকিক নিয়মে করলে হয়,


              বর্তমানে  $\frac{x(100-r)}{100}$  টাকায় পাওয়া যায়       $y$                একক দ্রব্য

                   ,,         $1$                 ,,     ,,    ,,      $\frac{100y}{x(100-r)}$   ,,   ,,


                   ,,        $x$                    ,,     ,,    ,,          $\frac{100xy}{x(100-r)}$  ,, ,,দ্রব্যের ব্যবহার বৃদ্ধি করতে হবে $=\frac{100x}{100-r}-y$   একক


                                $=\frac{ry}{100-r}$  এককদ্রব্যের ব্যবহার বৃদ্ধি করতে হবে $\frac{ry}{y(100-r)} =\frac{r}{100-r}%$

General Proof of Divisibility Tests

Here is a basic fact: Suppose you have a positive integer $n$  which, when you write its digits look liks : 

$a_m a_{m-1}\cdots a_2 a_1 a_0$

So  $a_0$  is the digit in the unit place,    $a_1$  is the digit in the 10's place,  $a_2$  is the digit in the 100's place, etc.   Then the number  $n$ equals

$n=a_m 10^m + a_{m-1} 10^{m-1}+ \cdots+a_2 10^2 + a_1 10 + a_0$, where $a_k$ are integers  and  $0\leq a_k \leq 9, k=0,1, ..., m$.

Let $S=a_0+a_1+ \cdots+a_m$,  $T= a_0-a_1+ \cdots+(-1)^m a_m.$  Then

(i)   $2|n \Leftrightarrow 2|a_0$;
(ii)   $3|n \Leftrightarrow 3|S$;

(iii)   $5|n \Leftrightarrow 5|a_0$;
(iv)   $9|n \Leftrightarrow9|S$;
(v)   $11|n \Leftrightarrow 11|T$.

Proof.

Let us consider  the polynomial

$f(x)=a_m x^m + a_{m-1} x^{m-1}+  \cdots +a_2 x^2 + a_1 x + a_0$.

(i)   We have

    $10 \equiv 0(\mod 2)$

$\Rightarrow f(10) \equiv f(0)(\mod 2)$

 $\Rightarrow n \equiv a_0 (\mod 2)$  ($\because f(10)=n$  and  $f(0)=a_0$)

 $\Rightarrow 2|(n-a_0)$.

 $\Rightarrow n-a_0=2q$ for some $q \in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow n=a_0+2q$.

Hence  $2|n$ iff $2|a_0$.


Conclusion: An integer is divisible by $ 2$ if the digit in the unit place is even.


(ii)   We have

    $10 \equiv 1(\mod 3)$

$\Rightarrow  f(10) \equiv f(1)(\mod 3)$

 $\Rightarrow n \equiv S (\mod 3)$  ($\because f(10)=n$  and  $f(1)=S$)

 $\Rightarrow 3|(n-S)$.

$\Rightarrow  n-S=3q$ for some $q \in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow  n=S+3q$

Hence  $3|n$  iff $ 3|S$.

Conclusion: An integer is divisible by $3$ if the sum of its digits is divisible by $3$.

(iii)   We have

    $10 \equiv 1(\mod 9)$

$\Rightarrow  f(10) \equiv f(1)(\mod 9)$

$\Rightarrow  n\equiv S (\mod 9)$  ($\because f(10)=n$  and  $f(1)=S$)

$\Rightarrow  9|(n-S)$.

$\Rightarrow  n-S=9q$ for some $q \in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow  n=S+9q$.

Hence  $9|n$  iff  $9|S$.

Conclusion: An integer is divisible by $9$ if the sum of its digits is divisible by $9$.

(iv)   We have

    $10 \equiv -1(\mod 11)$

$\Rightarrow  f(10) \equiv f(-1)(\mod 11)$

$\Rightarrow  n \equiv T (\mod 11)$  ($\because f(10)=n$  and  $f(-1)=T$)
$\Rightarrow  11|(n-T)$.
$\Rightarrow  n-T=11q$ for some $q \in \mathbb{Z}$
$\Rightarrow  n=T+11q$.

Hence  $11|n$ iff $11|T$.

Conclusion : An integer in divisible by $11$ if  the difference between the sum of digits in the odd place and  the sum of the digits in the even place is divisible by $11$

Find square root upto infinite times

Q1.  Evaluate

$\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{p\cdots\infty}}}}$

Solution :

Let $x=\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{p\cdots\infty}}}}$. Then

$x^2=p\sqrt{p\sqrt{p\sqrt{p\cdots\infty}}}$  (squaring both sides)

$\Rightarrow x^2=px$

$\Rightarrow (x-p)x=0$

$\Rightarrow x-p=0$  (since $x \neq 0$)

$\Rightarrow x=p$

Q2.  Evaluate

$\sqrt{p+ \sqrt{p+ \sqrt{p+ \sqrt{p+\cdots\infty}}}}$

Solution :

Let $x=\sqrt{p+ \sqrt{p+ \sqrt{p+ \sqrt{p+\cdots\infty}}}}$. Then

$x^2=p+ \sqrt{p+ \sqrt{p+ \sqrt{p+\cdots\infty}}}$  (squaring both sides)

$\Rightarrow x^2=p+x$

$\Rightarrow x^2-x-p=0$

$\Rightarrow x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-p)}}{2\cdot 1}$

$\Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{1+4p}}{2}$

General Formula for Converting Repeating Decimals to Fractions

Suppose that the decimal number is

$x=a.d_1d_2\cdots d_m \overline{d_{m+1}\cdots d_{m+p}d_{m+p}}$,

where the $d_k$ are digits, $a$ is the integer part of the number, and the vinculum (overline) indicates the repeating part of the decimal. Then

$10^mx=ad_1d_2\cdots d_m.\overline{d_{m+1}\cdots d_{m+p}d_{m+p}}\tag{1}\label{eq1}$ 

and

$10^{m+p}x=ad_1d_2\cdots d_md_{m+1}\cdots d_{m+p}d_{m+p} .\overline{d_{m+1}\cdots d_{m+p}d_{m+p}}\tag{2}\label{eq2}$

Subtract (\ref{eq1}) from (\ref{eq2}) :

$10^{m+p}x-10^mx=ad_1d_2\cdots d_m d_{m+1}\cdots d_{m+p}d_{m+p}-ad_1d_2\cdots d_m$

$\Rightarrow (10^{m+p}-10^m)x=ad_1d_2\cdots d_m d_{m+1}\cdots d_{m+p}d_{m+p}-ad_1d_2\cdots d_m$

$\Rightarrow x=\frac{ad_1d_2\cdots d_m d_{m+1}\cdots d_{m+p}d_{m+p}-ad_1d_2\cdots d_m}{10^{m+p}-10^m}$

$\Rightarrow x=\frac{ad_1d_2\cdots d_m d_{m+1}\cdots d_{m+p}d_{m+p}-ad_1d_2\cdots d_m}{(10^p-1)10^m}$


$\Rightarrow x=\frac{ad_1d_2\cdots d_m d_{m+1}\cdots d_{m+p}d_{m+p}-ad_1d_2\cdots d_m}{\underbrace{99\dots 9}_{p\text{-times}}\underbrace{00\dots 0}_{m\text{- times}}}$

$x$ can be expressed as $x=a\frac{d_1d_2\cdots d_m d_{m+1}\cdots d_{m+p}d_{m+p}-d_1d_2\cdots d_m}{99\dots 900\dots 0}$

For Example,
Rewrite as a simplified fraction.

$31.5 \overline{6349}=?$

Solution :

Let $x=31.5 \overline{6349}$. Then 
$\Rightarrow x=31\frac{56349-5}{99990}$
$\Rightarrow x=31\frac{56344}{99990}$
$\Rightarrow x=31\frac{28172}{49995}$

Some Algebraic Formulae

1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2.  $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
3.  $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
4.  $(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
5.  $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
6.  $a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$
7.  $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
8.  $4ab=(a+b)^2-(a-b)^2$
9.  $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$
10. $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
11.  $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$
12.  $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
13.  $(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)$
14. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
15.  $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$
16.  $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
17.  $a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)$
18.  $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$                                                            If $a+b+c=0$, then $a^3+b^3+c^3=3abc$